Vlastní poznatek: má větší váhu než ten převzatý

Naše učebnice jsou koncipovány jinak, než je obvyklé. Jsou stavěny na přesvědčení, že poznatek získaný vlastní úvahou je kvalitnější než poznatek převzatý. Matematiku podle nich žák objevuje. Cesta k objevu jde od zkušenosti k pojmu. Žák sbírá celou řadu zkušeností, o kterých mluví. Konzultuje své zkušenosti se spolužákem a vysvětluje mu své teorie, které si následně ověřuje na dalších úlohách. Ale především rozumí tomu, co dělá.

Malí i velcí „Pythagorové“

Když pracuje dítě s dřívky při skládání různě velkých čtverců, přirozeně objevuje vzorec pro výpočet obvodu čtverce. No dobře, řekne si čtenář, tady je cesta k objevu zřejmá, ale co „vyšší“ matematika?

V pátém ročníku má žák za sebou krájení pizzy na různé části, stříhání papíru, skládání různých částí do koláče, kruhu, čokolády a řadu úloh na podobná témata. Nikdy mu nikdo neřekl, jak se vypočítá část z celku. Přesto bezpečně ví, kolik minut je čtvrtina, třetina, pětina, dvě pětiny z hodiny. Umí vypočítat jak část z celku, tak celek z části, a to v různých situacích.

Dostane tedy úlohu, kdy má zjistit, kolik je 1/2 + 2/5. Na pomoc si může vzít třeba ciferník. Dítě ví, že jedna polovina hodiny je třicet minut. Umí vypočítat, že pětina hodiny je 12 minut, tedy dvě pětiny hodiny je 24 minut. 24 minut + 30 minut je 54 minut. Zapíše 1/2 + 2/5 = 54/60. Čísla u výsledného zlomku se mu zdají velká, a tak je „zmenší“. Například je rozpůlí. Vyjde mu 27/30. I tady se dají čísla ještě zmenšit na 9/10.

Podobně řeší další úlohy, eviduje výsledky a najde fintu. Při vytváření obecného matematického vzorce samo objevuje „Pythagorovy věty“. Někdo svoji „větu“ najde v pátém ročníku. Jiný na druhém stupni ZŠ a další ji nenajde vůbec. Ten si ji nechá vysvětlit od kamaráda. Přemýšlí o ní a převezme ji. Všichni tři však objevují cestu nejen ke sčítání či krácení zlomků, ale k matematickým zákonitostem. A co především, vidí smysluplnost svého konání. I tito žáci časem převedou již zmíněné zlomky na společného jmenovatele. Zároveň však chápou, proč to dělají a proč věci fungují právě takto. Jejich poznání je trvalé.

Objevit lze i integrály

Jakým způsobem ale středoškolští studenti objeví například integrály? Lidé, kteří se ptají, mají většinou na mysli integrály ve smyslu, jak se o nich učili ve škole. Odpovídá to často Weierstrassovu přístupu k integrálnímu počtu. Zde se buduje teorie založená na přísných logických principech – využívají se k tomu tzv. „epsilon-delta“ definice.

Naším záměrem je využít názornější a intuici bližší přístupy, například Cavalieriho princip. Tento princip se nejdříve objeví při počítání obsahů trojúhelníků a objemů těles. Později lze díky němu experimentovat s obsahy křivočarých útvarů určených parabolou, vodorovnou přímkou a svislou přímkou (přesněji přímkami rovnoběžnými se souřadnými osami, jde tedy o jakési „trojúhelníky s prohnutou stranou“). Studenti například zjistí, kolikrát je modrý útvar větší než červený. Poté zjistí, kolikrát je zelený útvar větší než modrý. Tím objeví poměr obsahů červeného a zeleného útvaru.

Pomocí dalších vhodně zvolených experimentů studenti objeví trik na spočítání těchto obsahů. Stejným trikem lze poté objevit metodu na spočítání plochy pod mnoha dalšími křivkami a nakonec pod libovolným polynomem. To je v podstatě totéž, co udělal Cavalieri přibližně dvě století před Weierstrassem. Objevováním těchto metod budou studenti rozumět myšlenkám, které stály u zrodu integrálního počtu.

Vlastní úvahou k přijetí konvencí

Díky vlastním zkušenostem a logické úvaze je dítě připraveno přijmout také matematický jazyk. Konvenci, která je obecně používaná. „Aha!“ oznámí druhák po sérii diskutovaných zkušeností s malou násobilkou: „Když chci vědět, kolik koleček je na čtyřech tříkolkách, nemusím psát 3 + 3 + 3 + 3. Stačí mi znaménko krát!“. Takový žáček rozumí operaci násobení a akceptuje matematický jazyk. Je na sebe hrdý. A těší se na další úlohy. Cestu k objevu v matematice lze shrnout do modelu:

ZKUŠENOST ⇒ MATEŘSKÝ JAZYK  ⇒ MATEMATICKÝ JAZYK.